General Description (概要)
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Foundation of sets and algebraic structures basic to modern mathematics. Includes sets and mappings, equivalence relations and equivalence classes, cardinal, and algebraic structures. One period of lecture and two periods of recitation weekly.
現代数学の基本概念のなかから，集合および代数系の基礎を学ぶ。集合と写像，同値関係と同値類，濃度 および代数系。毎週講義1時限，演習2時限。
数学および数理科学を学ぶために必要な現代数学の基礎概念の中から、
集合および代数系の基礎を学ぶ。特に、数学における定義と記号の明確な使用、
厳密な論理による証明の基礎的訓練を行なう。
数学を専門とする人の為のみならず、適切な問題設定の仕方を考える際のヒントがある。
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Learning Goals(学習目標)
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集合・写像・同値類・記号論理などの基本事項を学び、無限を扱う集合の濃度、
代数的構造の付いた集合(代数系)についての基本的な性質を学ぶ。
同時に、現代数学を展開するのに必要な定義・命題・証明の形式を学ぶ。
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Contents(内容)
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a. 論理、集合と写像、同値関係と同値類、濃度および代数系について。数学を専門として学ぶ基礎の第一段階。
b. 集合は数学における論理を厳密に組み立てていくために、数学を記述する言語として発達してきたものですが、厳密化の過程でさまざまな問題も指摘され、公理的集合論・数学基礎論といった分野を生み出してきました。ここでは、集合論を厳密に組み立てていくというよりも、数学で今後学んでいくときに必須である数学を記述するという部分に焦点をあて、論理を大切にして学んでいきます。命題・論理演算・真理表・集合の演算・写像・同値関係・順序関係・集合の濃度・可算無限と非可算無限・ベルンシュタインの定理がトピックです。
c. 代数系は、演算が定義された集合を扱うものです。基本的な代数系として、群・環・体ということばも出てきますが、ここでは、抽象的な代数系の構造に焦点をあてるというより、初等整数論を通して、代数系にふれます。
1. Sets and logic 集合と論理
2. Direct Proof and Proof by Contrapositive 直接証明と、対偶による証明
3. Mathematical Induction 数学的帰納法
4. Relations, Equivalence Relations 関係・同値関係
5. Functions 写像
6. Cardinality 集合の濃度
7. Division and Congruences of Integers 初等整数論
詳細は、下記ホームページを参照。
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Language of Instruction(教授言語の詳細)
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Grading Policy(成績評価基準)
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宿題 (Homework)・演習 (Recitation)・期末試験 (Final Exam)により総合的に評価する。
Homework 20%, Recitation 30%, Final Exam 50%
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Expected study hour outside class(授業時間外学習)
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References(参考文献)
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教科書："Mathematical Proofs, A Transition to Advanced Mathematics, Third Edition" by Gary Chartrand, Albert D. Polimeni, Ping Zhang, Pearson International Edition (ISBN13: 978-0321782519. Similar to Second Edition)
大学の書店で販売。0. Communicating Mathematics, 1. Sets, 2. Logic, 3. Direct Proof and Proof by Contrapositive, 4. More on Direct Proof and Proof by Contrapositive, 5. Existence and Proof by Contradiction, 6. Mathematical Induction, 7. Prove or Disprove, 8. Equivalence Relation, 9. Functions, 10. Cardinalities of Sets, 11. Proofs in Number Theory, 12. Proofs in Calculus, 13. Proofs in Group Theory. 授業では Chap. 1-11 までを扱う予定。Chapter 0は最初の授業までに読んでおくこと。最初の授業では、Chapter 1, 2 を扱い、Chapter 1 の問題を解きます。
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Learning Support Resources for Students (学生のための学修支援リソース)
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If there are learning support resources that are especially recommended for this course, they will be listed below.
Here (ICU Internal page) is the list of learning support resources available at ICU.
このコースで特に利用を推奨する学修支援リソースがある場合、以下に記載されます。
ICUで利用可能なリソースの一覧は こちらです （学内ウェブサイト）。
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Notes(注意事項)
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基本的には５時限目が講義、６・７時限目が演習。予定は、ホームページを参照してください。
純粋演繹とも呼ばれる論理推論の訓練をともなう、学問としての数学の第一歩です。直感的な理解や、計算だけでは理解できない部分が出てきますが、高校までの数学とは違う、数学の魅力を感じることの出来るものがたくさん含まれています。理論の美しさもありますが、それ以上に論理訓練が、このコースの一番大切な部分です。
授業の予習・復習、宿題形式の小テスト、演習問題をどんどん解いていくこと、これらなしには、数学の論理推論が出来るようになりません。時間を十分とって、理解してください。中途半端な理解はかえってあとで苦労します。数学の美しさを一緒に楽しみましょう。
Langage of Instruction:
Most of the lectures will be given in Japanese, However, textbook, blackboard writings, assignments, final will be given in English. At recitations, homework and final, students are allowed to use either English or Japanese.
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Schedule(スケジュール)
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5/W,(6/W,7/W)
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URL
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subsite.icu.ac.jp/people/hsuzuki/science/class/bcmm1/index.html
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